Instrucciones de análisis matemático

Dada la función $f\left(x\right)=\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1}$, te plantean un ejercicio para encontrar una serie de propiedades que te permitirán representarla gráficamente a mano. Académicamente, te servirá para repasar algunos comandos básicos relacionados con el mundo de el análisis.

Para resolver la primera pregunta, debes utilizar el comando dominio y calcular los límites mediante el icono presente en la sección Cálculo del Menú lateral. Fíjate cómo coinciden los puntos que se encuentran fuera del dominio de la función con las raíces del denominador.

La segunda cuestión es más sencilla de resolver con las herramientas vistas en la pregunta anterior. El hecho que este límite sea igual a 0 nos garantiza que la recta $y=x-2$ es asíntota oblicua de la función inicial.

Para resolver la tercera pregunta, simplemente debes derivar la función inicial utilizando el apóstrofo. Si lo prefieres, también la puedes encontrar utilizando la acción presente en la barra superior o el comando derivar. Observa que si quieres calcular a mano estas derivadas deberás utilizar la regla de derivación de un cociente.

Puedes resolver las ecuaciones planteadas igualando la expresión a 0 o utilizando el comando resolver indistintamente. Dar nombres a las soluciones te permite guardarlas en memoria y utilizarlas en cálculos posteriores utilizando más decimales de los que CalcMe muestra en pantalla.

La quinta pregunta se resuelve evaluando la segunda derivada de la función en los puntos críticos encontrados anteriormente. Si ésta es positiva en el punto, se tratará de un mínimo relativo. Por contra, si es negativa, se tratará de un máximo relativo.

Por otro lado, si quieres encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, deberás ver cuando la función derivada es negativa (función decreciente) y cuando es positiva (función creciente). Estos intervalos quedan delimitados por los extremos relativos y puntos fuera del dominio.

En cuanto a los puntos de inflexión, sólo debes comprobar que el punto que anulaba la segunda derivada no anule también la tercera, como es el caso. Por tanto, $c=0.27788$ será un punto de inflexión.

Por último, te falta representar la función y sus asíntotas.

Dado un conjunto de funciones, puedes utilizar CalcMe para encontrar el área de la región comprendida entre ellas y dibujarla. Para hacerlo, necesitarás encontrar los extremos de integración y comprobar qué función es más grande en el intervalo en cuestión.

Dadas las funciones $y=\sin \left(x\right)$ y $y=2·\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$,quieres encontrar el área de la región comprendida entre ellas desde el origen hasta al primer punto donde se cortan con abscisa positiva. Al buscar los puntos de corte, puedes comprobar que el primero es $x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$. Por tanto, deberás calcular la integral entre 0 y $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ de la función que vaya por encima ($y=2·\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$) menos la que vaya por debajo ($y=\sin \left(x\right)$).

Dadas esta vez las funciones $y=-x^2+2x$ e $y=x^2-2x+2$, quieres encontrar el área de la región comprendida entre el eje OY ($x=0$) y ambas funciones. Como antes, debes buscar su intersección y calcular la integral entre 0 y dicho punto. En esta ocasión, $y=x^2-2x+2$ va por encima y $y=-x^2+2x$, por debajo.

Al representar estas regiones, tienes dos opciones. En caso que la región que quieres pintar esté encapsulada entre dos funciones, simplemente debes utilizar el comando región indicando las funciones y el intervalo que quieres que represente.

Por otro lado, si la región a representar no está propiamente entre dos funciones, puedes intersecar directamente las inecuaciones necesarias y dibujarla utilizando la acción dedicada.

Dada una función cualquiera, con una gran variedad de propósitos, te puede interesar encontrar su máximo y su mínimo en un intervalo dado. Con CalcMe puedes encontrarlos fácilmente, simplemente debes evaluar la función en sus puntos críticos y en los extremos del intervalo de posibles valores.

Dado el modelo del índice de precio de los alimentos $I\left(t\right)=0.00009045·t^5$$+0.001438·t^4$$-0.0656·t^3$$+0.4598·t^2$$-0.6270·t$$+99.33$, quieres encontrar el momento de los seis primeros años cuando la comida ha sido más barata y cuando ha sido más cara. Al buscar su derivada e igualarla a cero, verás que hay puntos fuera del intervalo que no deberás tener en cuenta. Por tanto, sólo queda evaluar la función en los puntos en cuestión y ver cuando es más grande y cuando es más pequeña.

Repitiendo el mismo ejercicio pero en los doce primeros años, debes añadir $x=11.043$ a la lista de candidatos a óptimo. De este modo, puedes observar como el mínimo se alcanza más tarde que en el primer caso.

Dada una función cualquiera, puedes utilizar CalcMe para encontrar su polinomio de Taylor del grado que quieras centrado en un punto dado. Para hacerlo, puedes utilizar la fórmula o el comando taylor.

Dada la función $g\left(x\right)=\ln (2-x^2)$, para empezar quieres calcular el polinomio de Taylor de grado $2$ centrado en $x=1$. Puedes utilizar la fórmula y CalcMe encontrará los coeficientes directamente.

Dada la función $g\left(x\right)=\ln (2-x^2)$, ahora quieres calcular el polinomio de Taylor de grado $7$  centrado en el mismo punto. Puesto que la fórmula es muy larga, puedes optar por utilizar el comando taylor indicando la función en cuestión, la variable, el punto y el grado.

Un vez vistas ambas aproximaciones, puedes plantearte representarlas gráficamente para ver qué relación mantienen con la función inicial.

Fíjate que como más elevado es el grado del polinomio de Taylor, más grande es el intervalo donde aproxima la función adecuadamente. En este ejemplo, la función azul aproxima adecuadamente al polinomio en el intervalo $(0.8,1.2)$ mientras que la roja la aproxima en el intervalo $(0.6,1.4)$.

Como ya has visto anteriormente, dado un conjunto de funciones, puedes utilizar la calculadora para encontrar el área de la región que delimitan. El proceso habitual es utilizar la regla de Barrow, es decir, encontrar una primitiva de la función en cuestión y evaluarla en los extremos de integración.

A veces, cuando estos límites de integración se acercan a un número no real específico ($+\infty$ y $-\infty$), hablamos de una integral impropia y debemos calcular el límite de una integral definida.

En primer lugar, dada la curva $y={(\sqrt{5}-\sqrt{x})}^2$, para encontrar el área de la región en cuestión será suficiente con calcular el punto de corte y la integral entre 0 y dicho punto.

En segundo lugar, dada la curva $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$, para encontrar el área de la región en cuestión deberás calcular la integral con extremos de integración menos y más infinito de la asíntota horizontal menos la función. Puesto que los límites de integración se acercan a un número no real específico ($+\infty$ y $-\infty$), se trata de una integral impropia.

Por último, puedes calcular el área de la región acotada comprendida entre las dos curvas anteriores.

Para terminar, CalcMe también te permite resolver EDOs con o sin condiciones iniciales utilizando el comando resolver. Al escribir la ecuación, debes pensar en introducir la función en cuestión mediante el icono presente en la sección Cálculo del Menú. De otro modo, CalcMe no entenderá que se trata de una ecuación diferencial.

Así, un vez especificadas las condiciones iniciales, CalcMe devuelve la función de una variable que satisface la EDO y las condiciones iniciales en cuestión.