Instruccions d'anàlisi matemàtica

Donada la funció $f\left(x\right)=\frac{2x^3-5x^2+4x+1}{2x^2-x-1}$,  et plantegen un exercici per trobar un seguit de propietats que et permetran representar-la gràficament a ma. Acadèmicament, et servirà per repassar algunes comandes bàsiques relacionades amb el món de l'anàlisi.

Per resoldre la primera qüestió, has d'utilitzar la comanda domini i calcular els límits a partir de la icona present en la secció Càlcul del Menu lateral. Fixa't com coincideixen els punts que es troben fora del domini de la funció amb les arrels del denominador.

La segona qüestió és més senzilla de resoldre amb les eines vistes a la pregunta anterior. El fet que aquest límit sigui igual a 0 ens garanteix que la recta $y=x-2$ és asímptota obliqua de la funció inicial.

Per resoldre la tercera pregunta, simplement has de derivar la funció inicial utilitzant l'apòstrof. Si ho prefereixes, també la pots trobar utilitzant l'acció present a la barra superior o la comanda derivada. Per resoldre la tercera pregunta, simplement has de derivar la funció inicial utilitzant l'apòstrof. Si ho prefereixes, també la pots trobar utilitzant l'acció present a la barra superior o la comanda

Pots resoldre les equacions plantejades igualant l'expressió a 0 o utilitzant la comanda resol command indistintament. Posar noms a les solucions et permet guardar-les en memòria i utilitzar-les en càlculs posteriors fent servir més decimals dels que CalcMe mostra a la pantalla.

La cinquena pregunta es resol avaluant en els punts crítics trobats anteriorment la segona derivada de la funció. Si aquesta és positiva en el punt, es tractarà d'un mínim relatiu. Per contra, si és negativa, es tractarà d'un màxim relatiu.

Per altra banda, si vols trobar els intervals de creixement i decreixement, hauràs de veure quan la funció derivada és negativa (funció decreixent) i quan és positiva (funció creixent). Aquests intervals queden delimitats pels extrems relatius i punts fora del domini.

Pel que fa als punts d'inflexió, només has de comprovar que el punt que anul·lava la segona derivada no anul·li també la tercera, com és el cas. Per tant, $c=0.27788$  serà un punt d'inflexió.

Per últim, et falta representar la funció i les seves asímptotes.

Donat un conjunt de funcions, pots utilitzar CalcMe per trobar l'àrea de la regió compresa entre elles i dibuixar-la. Per fer-ho, necessitaràs trobar els extrems d'integració i comprovar quina funció és més gran en l'interval en qüestió.

Donades les funcions $y=\sin \left(x\right)$ i $y=2·\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$, , vols trobar l'àrea de la regió compresa entre elles des de l'origen fins al primer punt en què es tallen amb abscissa positiva. En buscar-ne els punts de tall, pots comprovar que el primer és $x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$per tant hauràs de calcular la integral entre 0 i  $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ de la funció que vagi per sobre ( $y=2·\sin \left(x\right)·\cos \left(x\right)$) menys la que vagi per sota ($y=\sin \left(x\right)$).

Donades aquest cop les funcions $y=-x^2+2x$ i $y=x^2-2x+2$, vols trobar l'àrea de la regió compresa entre l'eix OY ($x=0$) i ambdues funcions. Com abans, has de buscar la seva intersecció i calcular la integral entre 0 i dit punt. En aquesta ocasió, $y=x^2-2x+2$ va per sobre i  $y=-x^2+2x$, per sota.

A l'hora de representar aquestes regions, tens dues opcions. En cas que la regió que vols pintar estigui encapsulada entre dues funcions, simplement has d'utilitzar la comanda regió i indicar les funcions i l'interval que vols que representi.

Per altra banda, si la regió a representar no està pròpiament entre dues funcions, pots intersecar directament les inequacions necessàries i dibuixar-ho utilitzant l'acció.

Donada una funció qualsevol, amb una gran varietat de propòsits, et pot interessar trobar-ne el màxim i el mínim en un interval donat. Amb CalcMe pots trobar-los fàcilment, simplement has d'avaluar la funció en els seus punts crítics i en els extrems de l'interval de possibles valors.

Donat el model d'índex de preus d'aliments $I\left(t\right)=0.00009045·t^5$$+0.001438·t^4$$-0.0656·t^3$$+0.4598·t^2$$-0.6270·t$$+99.33$, vols trobar el moment dels sis primers anys en què el menjar ha estat més barat i en què ha estat més car. En buscar-ne la derivada i igualar-la a zero, veuràs que hi ha punts fora del nostre interval que no hauràs de tenir en compte. Per tant, només queda avaluar la funció als punts en qüestió i veure quan és més gran i quan és més petita.

Repetint el mateix exercici però en els dotze primer anys, has d'afegir $x=11.043$ a la llista de candidats a òptim. D'aquesta manera, pots observar com el mínim s'assoleix més tard que en el primer cas. first case.

Donada una funció qualsevol, pots utilitzarCalcMe per trobar el seu polinomi de Taylor del grau que vulguis centrat en un punt donat. Per fer-ho, pots utilitzar la fórmula o la comanda taylor.

Donada la funció $g\left(x\right)=\ln (2-x^2)$, per començar vols calcular el polinomi de Taylor de grau $2$ centrat a $x=1$. Pots utilitzar la fórmula corresponent, i CalcMe trobarà els coeficients demanats.

Donada la funció $g\left(x\right)=\ln (2-x^2)$, ara vols calcular el polinomi de Taylor de grau $7$ centrat al mateix punt. Atès que la fórmula és molt llarga, pots optar per utilitzar la comanda taylor indicant la funció, la variable, el punt i el grau.

Un cop vistes les dues aproximacions, pots plantejar-te representar-les gràficament per tal de veure quina relació mantenen amb la funció inicial.

Fixat que com més elevat és el grau del polinomi de Taylor, més gran és l'interval on aproxima la funció d'una manera adequada. En aquest exemple, la funció blava aproxima adequadament al polinomi a l'interval  $(0.8,1.2)$ mentres que la vermella l'aproxima a l'interval $(0.6,1.4)$.

Com ja has vist anteriorment, donat un conjunt de funcions, pots utilitzar la calculadora per trobar l'àrea de la regió que delimiten. El procés habitual és utilitzar la regla de Barrow, és a dir, trobar una primitiva de la funció en qüestió i avaluar-la als extrems d'integració.

A vegades, quan aquests límits d'integració s'apropen a un nombre no real específic ($+\infty$ and $-\infty$), parlem d'una integral impròpia i hem de calcular el límit d'una integral definida.

En primer lloc, donada la corba $y={(\sqrt{5}-\sqrt{x})}^2$,  per trobar l'àrea de la regió en qüestió en tindràs prou amb calcular el punt de tall i la integral entre 0 i tal punt.

En segon lloc, donada la corba $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$, per trobar l'àrea de la regió en qüestió hauràs de calcular la integral amb extrems d'integració menys i més infinit de l'asímptota horitzontal menys la funció. Atès que els límits d'integració s'apropen a un nombre no real específic ($+\infty$ and $-\infty$), parlem d'una integral impròpia.

Per últim, pots calcular l'àrea de la regió acotada compresa entre les dues corbes anteriors.

Per acabar, CalcMe també et permet resoldre EDOs amb o sense condicions inicials utilitzant la comanda resol. A l'hora d'escriure l'equació, has de pensar a introduir la funció en qüestió mitjançant la icona present a la secció Cèlcul del Menú. D'altra manera, CalcMe no entendrà que li parles d'una equació diferencial.

Així doncs, un cop donades les condicions inicials, CalcMe retorna l'equació d'una variable que satisfà l'EDO i les condicions inicials en qüestió.