Zahlendarstellung, Toleranz und Genauigkeit

Auf dieser Seite erfährst du, wie Ganzzahlen und Dezimalzahlen in CalcMe behandelt werden. Außerdem findest du ausführliche Erklärungen zu Genauigkeit und Toleranz. Du kannst zwischen verschiedenen Notationen auswählen, wenn Zahlen angezeigt werden sollen. Und schließlich kannst du Antworten mit periodischen Dezimalzahlen oder einer konkreten Anzahl an Dezimalstellen oder signifikanten Stellen festlegen.

WIRIS berechnet im exakten Modus und geht nur dann in den ungefähren Modus über, wenn Dezimalzahlen im Spiel sind. Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Dezimalzeichen. Eine Zahl ohne Dezimalzeichen heißt Ganzzahl. Hier siehst du einige Beispiele von exakten Ausdrücken, die keine Ganzzahlen sind: 1 half, pi, square root of 2, ...

Du kannst einen exakten Ausdruck in einen angenäherten Ausdruck umwandeln, indem du eine einfache Berechnung mit einer Dezimalzahl vornimmst, z. B. die Multiplikation mit 1,0.

Beachte, dass der Schüler immer mit einer Dezimalzahl antworten kann, die am nächsten kommt, obwohl die richtige Antwort eine Ganzzahl ist, und dies dennoch als richtig bewertet wird. Wenn du dem Schüler vorschreiben willst, dass er mit einer Ganzzahl antworten soll, stelle lieber Ganzzahlform ein.

Denke außerdem daran, dass einige WIRIS-Befehle manchmal eine exakte und ein anderes Mal eine ungefähre Zahl ausgeben können. Beispielsweise: atan(), integrieren(), löse(),... Beachte dies bei der Programmierung des Algorithmus in Variablen.

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Dezimalzeichen. Dezimalzahlen werden mit der Einstellung Genauigkeit angezeigt und über die Einstellung Toleranz verglichen. Was unter Dezimalzeichen verstanden wird, hängt von den Modi Allgemein und Menge ab.

  • Allgemein: Als Dezimalzeichen wird immer nur ein Punkt benutzt. Dezimalzeichen müssen innerhalb der Zahl stehen, nicht an den Seiten. Führende und nachlaufende Dezimalzeichen sind nicht erlaubt.
  • Menge: Standardmäßig werden alle Punkte, Kommas und Apostrophe als Dezimalzeichen verstanden. Führende und nachlaufende Dezimalzeichen sind erlaubt.

Genauigkeit steht für die Anzahl signifikanter Stellen oder Dezimalstellen von Variablen, die nach der Berechnung angezeigt werden. Das heißt, die Berechnungen werden intern nach bester Genauigkeit durchgeführt und am Ende zur eingestellten Genauigkeit gerundet. Die Genauigkeit wirkt sich auf die Dezimalzahlen aus, die in Formulierungen, Feedback usw. angezeigt werden. Die maximale Genauigkeit beträgt 15. Beim Runden wird bei der Hälfte aufgerundet.

Nehmen wir einmal die Zahl 12,345

Genauigkeit Zu signifikanten Stellen gerundet Zu Dezimalstellen gerundet
6 12,345 12,345000
5 12,345 12,34500
4 12,35 12,3450
3 12,3 12,345
2 12 12,35
1 12 12,3

Bei der Genauigkeit handelt es sich nicht um die Abweichungen zwischen der Antwort des Schülers und der richtigen Antwort. Das nennt man Toleranz. Allerdings kann sich die Genauigkeit negativ auf den Vergleich auswirken, wenn sie nicht richtig eingestellt wurde. Die Genauigkeit wirkt sich auf die richtige Antwort aus, wie sie dem Schüler angezeigt wird, aber auch auf den tatsächlichen Wert. Die Antwort des Schülers wird mit der richtigen Antwort verglichen, die mittels Genauigkeit gerundet wurde. Wenn die Genauigkeitszahl kleiner ist als die Toleranzzahl, werden gute Schülerantworten wahrscheinlich als schlecht bewertet. Denn wenn die Genauigkeitszahl klein ist, wird die in der Antwort enthaltene Zahl zu sehr gerundet, wahrscheinlich außerhalb des Toleranzbereichs. Denke also daran, die Genauigkeitszahl immer größer als die Toleranzzahl einzustellen. Beachte auch, dass die Genauigkeit in gewisser Weise mit der relativen Toleranz verbunden ist, aber nicht direkt mit der absoluten Toleranz in Beziehung steht. Hierzu wird ein Warnhinweis ausgegeben.

Die Toleranzzahl wird benutzt, um die Antwort des Schülers mit der Richtigen Antwort zu vergleichen. Mit s a wird die Antwort des Schülers, mit c a die richtige Antwort und mit n die Toleranz dargestellt.

Prozentzahlfehler

Zwischen der Antwort des Schülers und der richtigen Antwort wird eine Fehlermarge von n percent sign berücksichtigt. Die Antwort wird als richtig gewertet, wenn sie Folgendes erfüllt:

fraction numerator vertical line c a minus s a vertical line over denominator vertical line c a vertical line end fraction less or equal than n times 0.01

Beispielsweise, wenn die richtige Antwort 12.345 lautet.

Prozentzahlfehler Akzeptanzintervall
10 left square bracket 11.1105 comma 13.5795 right square bracket
1 left square bracket 12.22155 comma 12.46845 right square bracket
0,1 left square bracket 12.332655 comma 12.357345 right square bracket
0,01 left square bracket 12.3437655 comma 12.3462345 right square bracket

Absoluter Fehler

Die Antwort des Schülers hat eine Fehlermarge von n. Die Antwort wird als richtig gewertet, wenn sie Folgendes erfüllt:

vertical line c a minus s a vertical line less or equal than n

Beispielsweise, wenn die richtige Antwort 12.345 lautet.

Absoluter Fehler Akzeptanzintervall
1 left square bracket 11.345 comma 13.345 right square bracket
0,1 left square bracket 12.245 comma 12.445 right square bracket
0,01 left square bracket 12.335 comma 12.355 right square bracket
0,001 left square bracket 12.344 comma 12.346 right square bracket

Signifikante Stellen

Überprüfung, ob die ersten n signifikanten Stellen des Schülers und die richtigen Antworten übereinstimmen. Die Antwort wird als richtig gewertet, wenn sie Folgendes erfüllt:

text trunc end text left parenthesis c a times 10 to the power of m right parenthesis equals text trunc end text left parenthesis s a times 10 to the power of m right parenthesis

wobei m derart ist, dass 10 to the power of n minus 1 end exponent less or equal than c a times 10 to the power of m less than 10 to the power of n, und text trunc end text die Abschneidefunktion ist.

Beispielsweise, wenn die richtige Antwort 19.586 lautet.

Antwort des Schülers
Signifikante Stellen 20,01 19,6 19,59 19,58
1
2
3
4

Dezimalstellen

Überprüfung, ob die ersten n Dezimalstellen des Schülers und die richtigen Antworten übereinstimmen. Die Antwort wird als richtig gewertet, wenn sie Folgendes erfüllt:

text trunc end text left parenthesis c a times 10 to the power of n right parenthesis equals text trunc end text left parenthesis s a times 10 to the power of n right parenthesis

wobei text trunc end text die Abschneidefunktion ist. Beispielsweise, wenn die richtige Antwort 19.586 lautet.

Antwort des Schülers
Dezimalstellen 19,6 19,59 19,587 19,586
1
2
3

Diese Notationen gelten nur für Dezimalzahlen. Zahlen und Ausdrücke ohne Dezimalpunkte sind genaue Zahlen, also gelten diese Notationen für sie nicht. Einen genauen Ausdruck kannst du stets in eine Dezimalzahl umwandeln, indem du ihn beispielsweise mit 1,0 multiplizierst.

Auto

Auto ist die Standardnotation, wenn man signifikante Stellen in der Einstellung Genauigkeit benutzt. Mit der Notation Auto wird das beste Format für den jeweiligen Wert ausgewählt: Die meisten Zahlen werden ohne Änderungen angezeigt. Sehr große oder kleine Zahlen werden jedoch in der wissenschaftlichen Notation angezeigt. Auch Nullen, die den Dezimalstellen nachgestellt sind, werden gelöscht.

Wenn du p signifikante Stellen als Genauigkeit einstellst, wird die Gleitzahl x in der wissenschaftlichen Notation angezeigt, wenn sie open vertical bar x close vertical bar greater than 10 to the power of p oder open vertical bar x close vertical bar less than 10 to the power of negative 4 end exponent ist. Beachte, dass dies nicht auf Ganzzahlen zutrifft.

Dezimale

Die Notation Dezimale ist wie Auto, zeigt aber nie eine wissenschaftliche Notation an. Beachte, dass diese Notation Zahlen mit vielen Stellen hervorrufen kann. So sieht man zum Beispiel 1. times 10 to the power of 99 im Algorithmus, erhält aber letztlich eine lange Zahl mit hundert Stellen.

Beim Arbeiten mit Dezimalstellen als Genauigkeitswert ist dies die einzige Option.

Wissenschaftliche Notation

In der wissenschaftlichen Notation werden Zahlen immer in einer normalisierten wissenschaftlichen Notation angezeigt, die auch exponentielle Notation genannt wird.

Die Genauigkeitszahl steht hier für die signifikanten Stellen der Mantisse, die angezeigt werden sollen.

Nehmen wir an, die richtige Antwort ist 6.023 times 10 to the power of 23. Im Allgemeinen Modus als zulässige Eingabe ist die einzige akzeptierte Notation 6.023 times 10 to the power of 23. Wenn du den Schülern erlauben möchtest, Antworten in anderen Formaten zu geben, musst du stattdessen die Einstellung Menge in Validierung > Zulässige Eingabe wählen. So wird auch 6.023 E 23 akzeptiert. Um den Kleinbuchstaben e zu erlauben, hebe die Markierung im Kontrollfeld unter Validierung > Optionen für die Menge > Konstanten auf.

Bitte beachte, dass die folgenden Antworten nicht akzeptiert werden:

  • 12,3e+2: hier stehen zu viele Stellen vor dem Dezimalzeichen
  • 1,0 e+2: hier befindet sich ein Leerzeichen in der Mitte

Wie bei jeder anderen Zusicherung können wir uns auch hier entscheiden, ob die Antwort des Schülers eine konkrete Anzahl an signifikanten Stellen oder Dezimalstellen haben soll.

Nehmen wir an, dass die Antwort des Schülers eine Zahl hinter dem Dezimalzeichen haben soll. Angenommen die richtige Antwort ist 21,5, dann

Wiris Quizzes erkennt Dezimalzahlen mit periodischen Dezimalbrüchen. Ein Periodischer Dezimalbrüch ist eine Notation, die zur Darstellung von Dezimalzahlen mit periodischer Dezimalentwicklung, also als rationale Zahlen, verwendet wird. Zur Kennzeichnung von periodischen Dezimalbrüchen stehen drei Symbole zur Verfügung; du kannst jedes der drei verwenden. Das System ist intelligent genug, um zu verstehen, dass 0.3 33 with overparenthesis on top equals 0.3 with overparenthesis on top und natürlich, dass 0.9 with overparenthesis on top equals 1 ist.

Welche Frage können wir heute stellen?

  1. Die Antwort der Schüler kann jederzeit Zahlen mit periodischen Dezimalbrüchen enthalten. Das System erkennt sie wie jede andere Dezimalzahl. Wenn die Antwort den Validierungs-kriterien (Toleranz, mathematisch gleich usw.) entspricht, dann wird sie als Richtig bewertet.

  1. Die Lehrer können als Richtige Antwort eine konstante Zahl mit periodischen Dezimalbrüchen einstellen. Abhängig von den Validierungskriterien kann der Schüler mit jeder beliebigen Zahl mit oder ohne periodischen Dezimalbrüchen und sogar mit einem Bruch antworten, und seine Antwort kann als richtig bewertet werden.
  2. Aktuell gibt es keine Zusätzliche Eigenschaft, um zu bewerten, ob die Antwort des Schülers periodische Dezimalbrüche hat. Du kannst aber Buchstäblich gleich verwenden, um zu prüfen, ob die Antwort des Schülers und die richtige Antwort dieselbe Form haben, d. h. ob beide periodische Dezimalbrüche enthalten oder nicht.
  3. Aktuell kann man keine Variablen mit periodischen Dezimalbrüchen erstellen.

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