MENU Symboler Her finder du almindelige matematiske symboler. Disse knapper er til de flotte versioner af symbolerne. Nogle gange kan du skrive dem direkte med tastaturet; det bliver ikke særlig flot, men det fungerer. For eksempel kan du bruge tasten / på tastaturet til brøker. Du kan bruge parenteserne på tastaturet (), men parenteserne på knapperne er bedre, fordi de udvider sig efter indholdet. Konstanter Konstanter Tallet Pi Forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter π Tallet e er den eneste funktion, der og . e Imaginær enhed Et tal, der er defineret for at tilfredsstille Imaginære enhed Uendelighed Bruges til at udregne grænseværdier. Uendelighed Du skal bruge knapperne for e og i. Tastaturets e og i er bare variable, så de er ikke standardkonstanter. De fire grundlæggende processer Grundlæggende processer Addition Addition Subtraktion Subtraktion Multiplikation Multiplikation Division Division Du kan bruge adskillige symboler til multiplikation: * (stjerne), · (mellempunkt), den i menuen, og også mellemrum. Det vil sige, at et mellemrum mellem variable eller tal er en implicit multiplikation. Anvendelse af * (stjernen) omdannes automatisk til et pænere mellempunkt ·. Til division kan du anvende / (skråstreg) og naturligvis brøksymbolet ud over symbolet i menuen. Klammer Klammer Parenteser Anvendes til at kontrollere rækkefølgen af processerne. Operatorprioritet Vektor Se afsnittet om Lineær algebra. Vektor Liste Visse resultater eller parametre angives eller ønskes i dette format. Absolut værdi Også kaldet numerisk værdi. Absolut værdi Norm Længde af vektor. Norm Undlad at anvende krøllede eller firkantede klammer som parenteser. Anvend kun almindelige parenteser. : fejl : ok Operationelle symboler Operationelle symboler Brøk Brøk Kvadratrod Kvadratrod Rod Potens Potens Listens elementer Kan også anvendes som vektor, en matrix, en ligning osv. Ulighedssymboler Ulighedssymboler Symbol for større end Ulighed Symbol for mindre end Større end eller lig med Mindre end eller lig med Ikke lig med Andre symboler Andre symboler Decimalmarkering Punktummet (.) anvendes som decimalpunkt, kommaet (,) er til lister, og apostrofen (') er til derivation. Decimalpunktet er punktummet, men de andre har ikke den funktion. Der er intet symbol for talgruppering, og der er ingen mellemrum. Mellemrum betyder implicit multiplikation. Begyndende decimalangivelse er ikke tilladt, start med nul i disse tilfælde. Det afsluttende decimalpunkt er tilladt. 3.1416: OK 3,1416: Forkert 3'1416: Forkert 1 234 567: Forkert .12: Forkert 0.12: OK 12.0: OK 12.: OK Eksempler Aritmetik Her vil du finde kommandoer, der vedrører heltal og afrunding af decimaltal. Du kan også finde visse delingskommandoer, der er delt med Polynomier. Heltal og afrunding Se også afsnittet Dokumentindstillinger for at se, hvordan mange decimalpladser, der vises. Heltal og afrunding Absolut værdi Du kan også taste | (lodret streg) på tastaturet. Absolut værdi Gulv Rund ned til det nærmeste mindre heltal. Afrunding Loft Rund op til det nærmeste større heltal. Afrund til nærmeste heltal eller til en uafgjort afrunding halvvejs oppe. Symbolet for et tal. Kan være -1, 0 eller 1. Sign Det største af to tal eller af en liste. Det mindste af to tal eller en liste. Skab et pseudo-tilfældigt tal mellem de to angivne (begge inklusive). Du kan også vælge tilfældigt fra en liste. Tilfældighedsgenerator Delelighed Delelighed Tælleren i en brøk Brøk Nævneren i en brøk Kvotienten af heltalsdivisionen af det første tal (dividende) med det andet (divisor) Overskydende af heltalsdivisionen af det første tal (dividende) med det andet (divisor); også kaldet modulus i mange lærebøger Største fælles divisor sfd Mindste fælles multiplum Primtalsfaktor af et heltal Faktorisering Tests til at afgøre om et tal er et primtal. Dette er et prædikat, en kommando, der kun angiver sandt eller falsk. Primtal Eksempler Polynomier Polynomier er udtryk, der er en sum af flere led, oftest led af formen . Eftersom du kan dele polynomier, deler de kommandoer med afsnittet Aritmetik. Her vil du også finde kommandoer for komplekse tal. Komplekse tal blev opfundet for at løse matematiske problemer med polynomier. Polynomier Polynomier Graden af et polynomium Polynomium Hvor mange led et polynomium har Dette angiver et led i et polynomium. Leddet man ønsker angivet placeres ved symbolet n. Leddene rangeres efter deres nedadgående potens. Det sidste led er derfor konstantleddet. Indholdet i et polynomium. Det vil sige gcd af deres koefficienter. Omdan et polynomium med adskillige led arrangeret efter den variabel, som angives ved symbolet n. Bestemmer rødderne af et polynomium. Kommandoen roots(p) gør det samme som solve(p=0) eller hvis man udfører Calc for p=0, men viser resultatet på en anden måde. Se eksempel. Du kan også finde rødder for komplekse tal, hvis du bruger C fra Logik og mængde som parameter. Delelighed Delelighed Tælleren i en rationel brøk Nævneren i en rationel brøk Kvotienten af divisionen af det første polynomium (dividende) med det andet (divisor) Polynomium Overskydende af divisionen af det første polynomium (dividende) med det andet (divisor) Største fælles divisor Det mindst anvendte multiplum Faktorisering i et ureducerbart polynomium Dette afprøver, om et polynomium er ureducerbart. Dette er et prædikat, en kommando, der kun angiver sandt eller falsk. Komplekse tal Komplekse tal Imaginær enhed Imaginære enhed Den reelle del af et komplekst tal Komplekse tal Den imaginære enhed af et komplekst tal. Modulus af et komplekst tal Argumentet for et komplekst tal inden for (-Ï€,+Ï€] Dette omdanner et komplekst tal fra binomial form til polær form, og den anden vej rundt(!). Den polære form er det komplekse tal angivet som længde og vinkel. Dette er afledningen af et komplekst tal. Udskift symbolet for den imaginære del. Eksempler Komplekse tal Statistik Datasæt Datasæt skal indtastes som en liste, der er adskilt med komma og lukket med tuborgklammer {}. Datasæt Liste Enkeltsæt Disse kommandoer laver opsummeringer af enkelte datasæt. De måler middelværdier eller andre variable. Beskrivelse af en enkelt prøve Middeltal, aritmetisk gennemsnit, middelværdi Gennemsnit Dette anvendes til at opsummere målinger i forskellige enheder (længde, omkostning, vægt….) af samme objekt. Det giver ingen mening ved anvendelse for et enkelt objekt, men det er brugbart til sammenligning af forskellige objekter. Dette anvendes til forholdstal og niveauer samt i forhold til fart. En måling af variabler som er belejlig for beregninger Varians En måling af variabler med samme fysiske dataenheder Standardafvigelse En midtpunktsmåling som alternativ til middeltal, der er mere robust, hvilket vil sige, at den ikke påvirkes af de ekstreme data, der generelt betegnes som afvigelser. Median Disse er værdier, der opdeler data ind i fire grupper af samme størrelse. De anvendes til at måle variabler. Se afsnittet med formelreferencen for flere oplysninger. Mest hyppigt forekommende dataværdi. Det kan være et sæt, hvis det står lige. Typetal To sæt Disse kommandoer beregner på sammenhænge mellem taldata. Datasæt skal indtastes som to sæt af talpar. Tallene anbringes i tuborgklammer {}. De enkelte talsæt anbringes i almindelige parenteser (). Tallene adskilles med kommaer. Du kan derefter vælge at se grafisk visning af tallene i et koordinatsystem. Forholdet mellem to parrede datasæt Koefficienten angiver spredningsforholdet mellem talsættene. Pearson korrelation koefficient. Koefficienten afgør om der en lineær sammenhæng mellem tallene. Korrelation Beregner den rette linje der bedst matcher talsættene. Bestemmer den bedste potensfunktion der matcher tallene. Bestemmer den bedste eksponentialfunktion der matcher tallene. Bestemmer den bedste logaritmiske funktion .der matcher tallene. Formelreference Formelreference Eksempler Funktioner Polynomiefunktioner og rationelle funktioner, kaldes begge for algebra-funktioner. De er inkluderet i Polynomier afsnittet. Dette afsnit handler om andre grupper inden for de såkaldte transcendentale funktioner. Deres værdier kan ikke udregnes alene med basal aritmetik. Du kan udregne cirkaværdier, men det er upraktisk at gøre dette i hånden. Det er bedre at anvende en CAS regner eller - som man gjorde i gamle dage - en tabel over værdier. Trigonometriske funktioner Trigonometriske funktioner har to funktionsområder: grader eller radianer. Se afsnittet kaldet Dokumentindstillinger. Trigonometriske funktioner Nummer pi Dette er nyttigt, når man arbejder med radianer. Stykkevis lineær funktion Vinkelgrad Grad Direkte Sinus (siden modsat vinklen) Trigonometrisk funktion Cosinus (siden på samme side af vinklen) Tangens, sinus/cosinus Reciprok Cosekant, Trigonometrisk funktion Sekant, Cotangens, Invers Omvendt sinus eller den vinkel i intervallet [-π/2,π/2] der svarer til en given sinus værdi. Trigonometrisk funktion Omvendt cosinus eller den vinkel i intervallet [0,π] der svarer til en given cosinus værdi. Omvendt tangens eller den vinkel i intervallet (-π/2,π/2), der svarer til en given tangens. Du kan anvende handlingen Simplificér til at gennemtvinge en ikke-triviel forenkling af trigonometriske udtryk. Derudover kan handlingen Bekræft teste de trigonometriske egenskaber. Logaritme- og eksponentialfunktioner Logaritme- og eksponentialfunktioner er meget vigtige i calculus. Logaritmerne anvendes til visse fysiske målinger fx til enhederne pH i kemi og dB i akustikfysik. Logaritme- og eksponentialfunktioner Tallet e Dette er basis for den naturlige logaritme. e Logaritme med base Logaritme Eksponentialfunktionen, e startes af det angivne tal Potens Naturlig eller Neper logaritme Logaritme Logaritme Du skal indtaste e med knappen. Du kan ikke brugen tasten e på tastaturet, fordi så er det blot en variabel kaldet e og ikke tallet e. Basen for logaritmen kan sættes som et underindeks af funktionen log(). Hvis der ikke sættes en base, betyder log() blot decimallogaritmen eller med andre ord, er logaritmens base 10. Altså, ln() betyder den naturlige logaritme, som har tallet e som base. Du kan anvende handlingen Simplificér til at gennemtvinge en ikke-triviel forenkling af logaritme- og eksponentialfunktioner. Derudover kan handlingen Bekræft teste for identiteter. Hyperbolske funktioner Hyperbolske funktioner Eksempler Trigonometriske funktioner Trigonometriske reciprokke funktioner Trigonometriske inverse funktioner Logaritme- og eksponentialfunktioner Hyperbolske funktioner Infinitesimalregning Her kan du finde en masse knapper og kommandoer, der er relevante for calculus, funktioner og successioner. Calculus-handlinger Afled Integrer En udledning eller integration vil som standard bruge den første alfabetiske variabel. Du kan ændre dette ved at konfigurere disse handlinger, hvilket gøres ved at klikke på handlingsikonet på linjen. Calculus-knapper Den afledte Du kan også anvende apostrof (') på tastaturet. Et ubestemt integral Et bestemt integral Vær opmærksom på, at tegnet for funktionen har betydning. Det fastsatte integral er ikke altid området. Grænseværdi Du kan også anvende uendelig her. Grænseværdi Højre grænseværdi Venstre grænseværdi Mod det uendelige univers! Uendelighed Stykvis funktion Pi Funktionsapplikation Sumtegn til bestemmelse af summer. Summens grænser angives foroven og forneden. Sumrække Sumtegn til bestemmelse af summer. Summens grænser angives forneden. Produktet med interval angivet foroven og forneden. Produktet med interval angivet forneden. Funktionsapplikation må kun anvendes, når funktionen ikke er defineret endnu (så som ved ODE'r). Den skal ikke bruges til at definere eller anvende en funktion. Anvend i stedet simple parenteser til dette. Se eksemplet nedenfor. Calculus-kommandoer Definitionsmængde Funktion Taylor's polynomial Ordinære Differentialligninger Dette fylder planet med vektorer, der er defineret af en differentiallignings mulige løsninger. Anvend dette til at visualisere hældninger, kræfter eller udledninger i et faseplan osv. Dette fylder planet med kurver, der følger den givne vektor, dvs. kurver som løsningen til den ODE, der er forbundet med vektorfeltet. Anvend denne til at få et overblik over feltets stabilitet. Dette tegner en bestemt løsningskurve, som går gennem et givent punkt. Eksempler Lineær algebra Her findes handlinger med vektorer og matricer. Vektorer, som anvender klammer, skrives horisontalt (Ikke dansk tradition). Du kan skrive dem med menuknapperne eller direkte med tastaturet. Matricer skrives bedst med knappen i menuen. De kan dog også skrives med tastaturet som en vektor i adskillige dimensioner, som man tit gør i programmeringssprog. Når matricen er skabt, kan du stadig ændre dens layout. Du kan f.eks. indsætte eller fjerne kolonner eller rækker. Der er knapper til dette i menuen. De er som regel deaktiverede, men de bliver aktive, når musemarkøren bevæges ind i matricen. Vektorer betragtes automatisk som matricer af visse kommandoer. Du behøver ikke at bekymre dig om at omregne. De sædvanlige handlinger er opmærksomme på forskellen mellem vektorer og matricer. F.eks. betyder det almindelige produktsymbol flere ting, når det anvendes mellem en skalar og en vektor, to vektorer, en vektor og en matrix, eller to matricer. Lineær algebra Markører Vektor Vektor Matrix Matrix Determinant Determinant Knapper til vektorer Skalarprodukt, prikprodukt Skalarprodukt Vektorprodukt, krydsprodukt Krydsprodukt Norm Norm Element af vektor Knapper til matricer Determinant Determinant Invers Matrix Transponér Transponering Identitetsmatrix Matrix Element af matricen Kommandoer Dimension af en vektor Vektor Dimensioner af en matrix; først filer, dernæst rækker Matrix Transponér en matrix. Du kan også skrive ' (primtal) med tastaturet for at opnå transponering. Transponering Rangering af en matrix; maks. antal lineære uafhængige rækker eller kolonner En matrix, hvis rækker er en base for kernen En matrix, hvis rækker er en base for billedet Værdimængde En liste over egenværdier gentaget så mange gange, som de er ganget med sig selv Egenværdi En matrix, hvis rækker er egenværdier, og rækkefølgen stemmer overens med resultatlisten for egenværdier Egenvektor Jordan normalformen af matricen, hvis den findes. Den giver den nedre trekant form, men ikke den øvre trekant. Vinkel mellem to vektorer. For kommandoerne kernel(), billede() og egenvektorer() er resultaterne en matrix, hvis kolonner er vektorerne, der danner en base. Bemærk, at eftersom der altid er mange baser, er der også mange andre korrekte resultater. Du kan få en specifik vektor fra resultaterne R ved at anvende RT1, RT2, RT3,... Modifikatorer til matrix-layout Indsæt kolonne til venstre Indsæt kolonne til højre Fjern kolonne Indsæt række ovenfor Indsæt række nedenfor Fjern række Eksempler Kombinatorik Her vil du finde basale kombinatoriske funktioner. Du kan udregne deres værdier. Du kan også anvende disse funktioner i en liste og se hele samlingen. Vær dog forsigtig, da tallene nemt kan blive for store. Kombinatorik Variationer Permutationer Permutation Kombinationer Variationer med gentagelser Permutationer med gentagelser Permutation Kombinationer med gentagelser Binomial koefficient Binomialkoefficient Faktor Du kan også taste ! på tastaturet. Fakultet Eksempler Logik og sæt Du kan bekræfte, om et udsagn er sandt eller falsk. Du kan f.eks. anvende dette til at teste identiteter. Der er logiske (Booleske) operatører, som du kan anvende til at kombinere udsagn. Du kan lave udsagn om sæt. Der er to forskellige slags: endelige sæt: en liste over elementer i tuborgklammer, så som {1,2,3}. standard talsæt: repræsenteret af standardsymboler, f.eks. R. Du kan foretage handlinger med endelige sæt, men ikke med de andre. Logik og sæt Handlinger Verificer Udsagn Knapper i forbindelse med logik Lig med Ulighed Ikke lig med Symbol for mindre end Symbol for større end Mindre end eller lig med Større end eller lig med Logisk og Konjunktion Logisk eller Disjunktion Knapper i forbindelse med sæt Liste Elementer af Mængde Indeholder som medlem Union Skæringspunkt Sæt minus Naturlige tal Tal Heltal Rationelle tal Reelle tal Komplekse tal Eksempler Løs Dette afsnit indeholder kommandoer til løsning af ligninger, uligheder og deres tilsvarende systemer. Du kan udføre handlingen Udregn for ligninger, uligheder og deres systemer, og de vil som udgangspunkt blive løst. Alternativt kan du anvende kommandoen Løs. Resultatet er det samme, men formerne er forskellige. Du kan også anvende Løs til komplekse tal. Ikke alle ligninger har algoritmer til at finde løsningen. Hvis systemet ikke kan finde alle de præcise løsninger, kan du prøve Numerisk_løsning for at finde en omtrentlig løsning. Kommandoen numerisk_løsning kan ikke finde alle løsninger, men den finder i stedet én hver gang. Vi kan også gemme ligningernes opløsninger som helhed og få adgang til hver af dem ved hjælp af kommandoerne beskrevet i det sidste af de følgende eksempler. Løs Find alle løsninger: alle værdier, der passer ind i ligningen. Ligning Find én omtrentlig løsning, der passer ind i ligningen. En iterativ metode anvendes, og du kan fastsætte begyndelsesværdien. Newtons metode Løs uligheder og deres tilsvarende systemer. Ulighed Evaluér det første parameter (udtryk) ved at erstatte den anden (variabel) med den tredje (værdi) og udføre handlingen. Eksempler Græsk Det er almindeligt at anvende græske bogstaver i formler, og dette afsnit omhandler alle disse. Se Græske alfabet for baggrundsinformation. Du kan anvende græske bogstaver for navnene på variablerne. Du kunne sågar anvende f.eks. kinesiske, japanske eller russiske bogstaver. Du ville få brug for det rigtige tastatur til at gøre det, eller du kunne kopiere og indsætte symbolerne fra f.eks. en hjemmeside. Se Unicode for baggrundsinformation. * Undlad at anvende dette π som tallet 3.1416, anvend i stedet den, der findes i afsnittet om Symboler. π er her kun tekst, og har derfor ingen værdi. Små bogstaver Alfa Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda My Ny (N v) Xi Omikron Pi Rho Afsluttende sigma Sigma Tau Ypsilon Fi Chi Psi Omega Store bogstaver Stort alfa Stort beta Stort gamma Stort delta Stort epsilon Stort zeta Stort eta Stort theta Stort iota Stort kappa Stort lambda Stort my Stort ny Stort xi Stort omikron Stort pi Stort rho Stort sigma Stort tau Stort ypsilon Stort fi Stort chi Stort psi Stort omega Eksempler Greek Måleenheder Du kan foretage beregninger ved brug af enheder. Vi følger metersystemet, også kaldet SI-systemet, eller forkortet SI. Du skal skrive enhederne med knapperne i denne sektion. Du kan ikke skrive dem med dit tastatur. m med knappen angiver meter, men et m fra tastaturet er bare en variabel. Et mellemrum imellem symboler betyder som regel produkt, men mellem størrelser betyder det sum. Hvis du ønsker at gange størrelser, skal du skrive produktsymbolet mellem dem. Øverst i sektionen er der en selektor til SI-forkortelserne for enhederne nedenfor. Resultatet fra en udregning mellem mængder har automatisk måleenheden valgt i forvejen. Du kan gennemtvinge en mængdeenhed ved at anvende kommandoen Omregn. Du kan få en mængde ved at gange tallet og en enhed. Ved at bruge disse kommandoer kan du opdele en mængde ind i koefficient og enhed. Kommandoer Omregn en mængde i det første parameter til enheden i det andet parameter. Hvis der ikke er noget andet parameter, vil det blive omregnet til en standardenhed i SI. Mængdekoefficient Mængdeenhed Enheder SI-præfikser n Nano 0,000 000 001 µ Mikro 0,000 001 m Mili 0,001 c Centi 0,01 d Deci 0,1 da Deka 10 h Hekto 100 k Kilo 1000 M Mega 1 000 000 G Giga 1 000 000 000 Enheder Meter Gram Sekund Ampere Kelvin Mol Candela Vinkelgrad Vinkelminut Vinkelsekund Radian Steradian Time Minut Sekund Liter Newton Hertz Pascal Watt Joule Coulomb Volt Ohm Farad Siemens Weber Bar Henry Tesla Lux Lumen Gray Becquerel Sievert Katal Percent Permil Eksempler Måleenheder Grafik Dit Ark har et område til plottere i højre side. Plottere er bokse til graffunktioner. De kan konfigureres. Som du kan se, har plotteren baggrund, akse og er inddelt i et net. De har også centrum og en skala, som henviser til en aktuel visning af markøren. Hver plotter har et navn foroven samt en knap til konfiguration af dens egenskaber. Du kan ændre visningen, mens du arbejder, ved at trække musen eller rulle musehjulet hen over plotteren. Der er også større versioner af plotterne. Klik på pilen nederst til venstre for at se dem. I de større versioner er der skydere til at ændre visningen. Derudover har den større version af 2D-plotteren et trådkors og koordinaterne for det valgte punkt vises nederst til højre. Dette er gavnligt, da det giver informationer om de indtegnede funktioner. Du kan indtaste ting i plotteren ved at anvende handlingsknappen Plot i en formular. Hvis der ikke er en plotter på arket, vil en ny plotter blive dannet. Ellers bliver grafen placeret i en eksisterende plotter. Grafiske objekter kan konfigureres. Hvert grafisk objekt har mærkat, farve og stregbredde og gennemsigtighed. Disse egenskaber kan konfigureres ved at klikke på det lille grafiske ikon af plotteren i den enkelte linje på arket. Du kan også flytte et objekt fra én plotter til en anden ved at anvende den samme konfigurations pop-up. Grafik Handlinger Tegn Tegn 3D Kommandoer Placér grænserne som parametre, og du vil få et særligt interval, der er klar til at blive plottet. 2D Du kan plotte i det kartesiske plan: funktioner med en variabel ligninger med to variabler, der indeholder implicitte funktioner uligheder med to variable, hvor der er intervaller lister med disse regioner, der er defineret af kommandoen region() Du kan også plotte elementer af ODE’er, som forklaret i sektionen Infinitesimalregning. 3D I det kartesiske rum kan du plotte: funktioner med to variable lineære ligninger med tre variable lister med disse Eksempler Plotter-indstillinger Plot-indstillinger {{graphics.region.p.calc.png}?300} Format Du kan anvende visse formateringsmuligheder, men kun på tekst i tekstlinjer (dannet af den Handling). Valgmuligheder anvend på bogstaver Fed Kursiv Farve anvend på hele linjen Font-familie Fontstørrelse Format Indholdsfortegnelse Symboler Aritmetik Polynomier Statistik Funktioner Infinitesimalregning Lineær algebra Kombinatorik Logik og sæt Løs Græsk Måleenheder Grafik Format