REPTE 3: Instruccions d'anàlisi matemàtica

Nota: Pots trobar unes quantes demos interactives en aquesta pàgina. Si cliques sobre el requadre que conté els paràmetres de CalcMe, t'apareixerà en pantalla una finestra de CalcMe amb totes les operacions que hi pots veure. Prova-ho, canvia els paràmetres o les opcions, no trencaràs res!

Donada la funció f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator 2 x cubed minus 5 x squared plus 4 x plus 1 over denominator 2 x squared minus x minus 1 end fraction, et plantegen un exercici per trobar un seguit de propietats que et permetran representar-la gràficament a ma. A nivell acadèmic, et servirà per repassar algunes comandes bàsiques relacionades amb el món de l'anàlisi.

Per resoldre la primera qüestió, has d'utilitzar la comanda domini i calcular els límits a partir de la icona present en la secció Càlcul del Menú lateral. Fixa't com coincideixen els punts que es troben fora del domini de la funció amb les arrels del denominador.

DEMO INTERACTIVA

La segona qüestió és més senzilla de resoldre amb les eines vistes a la pregunta anterior. El fet que aquest límit sigui igual a 0 ens garanteix que la recta y equals x minus 2 és assímptota obliqua de la funció inicial.

DEMO INTERACTIVA

Per resoldre la tercera pregunta, simplement has de derivar la funció inicial utilitzant l'apòstrof. Si ho prefereixes, també la pots trobar utilitzant l'acció que pots trobar a la barra superior o la comanda derivada. Observa que si vols calcular a mà aquestes derivades hauràs d'utilitzar la regla de derivació d'un quocient.

DEMO INTERACTIVA

Pots resoldre les equacions plantejades igualant l'expressió a 0 o utilitzant la comanda resol indistintament. Posar noms a les solucions et permet guardar-les en memòria i utilitzar-les en càlculs posteriors servir més decimals dels que CalcMe mostra a la pantalla.

DEMO INTERACTIVA

La cinquena pregunta es resol evaluant en els punts crítics trobats anteriorment la segona derivada de la funció. Si aquesta és positiva en el punt, es tractarà d'un minim relatiu. Per contra, si és negativa, es tractarà d'un màxim relatiu.

Per altra banda, si vols trobar els intervals de creixement i decreixement, hauràs de veure quan la funció derivada és negativa (funció decreixent) i quan és positiva (funció creixent). Aquests intervals queden delimitats pels extrems relatius i punts fora del domini.

DEMO INTERACTIVA

Pel que fa als punts d'inflexió, només has de comprovar que el punt que anul·lava la segona derivada no anul·li també la tercera, com és el cas. Per tant, c equals 0.27788 serà un punt d'inflexió.

DEMO INTERACTIVA

Per últim, et falta representar la funció i les seves assímptotes.

DEMO INTERACTIVA

Donat un conjunt de funcions, pots utilitzar CalcMe per trobar l'àrea de la regió compresa entre elles i dibuixar-la. Per fer-ho, necessitaràs trobar els extrems d'integració i comprovar quina funció és més gran en l'interval en qüestió.

Donades les funcions y equals sin left parenthesis x right parenthesis i y equals 2 times sin left parenthesis x right parenthesis times cos left parenthesis x right parenthesis, vols trobar l'àrea de la regió compresa entre elles des de l'origen fins al primer punt en què es tallen amb abscissa positiva. Al buscar-ne els punts de tall, pots comprovar que el primer és x equals straight pi over 3, per tant hauràs de calcular la integral entre 0 i straight pi over 3 de la funció que vagi per sobre (y equals 2 times sin left parenthesis x right parenthesis times cos left parenthesis x right parenthesis) menys la que vagi per sota (y equals sin left parenthesis x right parenthesis).

DEMO INTERACTIVA

Donades aquest cop les funcions y equals negative x squared plus 2 x i y equals x squared minus 2 x plus 2, vols trobar l'àrea de la regió compresa entre l'eix OY (x equals 0) i ambdues funcions. Com abans, has de buscar la seva intersecció i calcular la integral entre 0 i dit punt. En aquesta ocasió, y equals x squared minus 2 x plus 2 va per sobre i y equals negative x squared plus 2 x, per sota.

DEMO INTERACTIVA

A l'hora de representar aquestes regions, tens dues opcions. En cas de que la regió que vols pintar estigui encapsulada entre dues funcions, simplement has d'utilitzar la comanda regio i indicar les funcions i l'interval que vols que representi.

DEMO INTERACTIVA

Per altra banda, si la regió a representar no està pròpiament entre dues funcions, pots intersecar directament les inequacions necessàries i dibuixar-ho utilitzant l'acció.

DEMO INTERACTIVA

Donada una funció qualsevol, amb una gran varietat de propòsits, et pot interessar trobar-ne el màxim i el mínim en un interval donat. Amb CalcMe pots trobar-los fàcilment, simplement has d'evaluar la funció en els seus punts crítics i en els extrems de l'interval de possibles valors.

Donat el model d'índex de preus d'aliments I left parenthesis t right parenthesis equals 0.00009045 times t to the power of 5plus 0.001438 times t to the power of 4negative 0.0656 times t cubedplus 0.4598 times t squarednegative 0.6270 times tplus 99.33, vols trobar el moment dels sis primers anys en què el menjar ha estat més barat i en què ha estat més car. Al buscar-ne la derivada i igualar-la a zero, veuràs que hi ha punts fora del nostre interval que no hauràs de tenir en compte. Per tant, només queda evaluar la funció als punts en qüestió i veure quan és més gran i quan és més petita.

DEMO INTERACTIVA

Repetint el mateix exercici però en els dotze primer anys, has d'afegir x equals 11.043 a la llista de candidats a òptim. D'aquesta manera, pots observar com el mínim s'assoleix més tard que en el primer cas.

DEMO INTERACTIVA

Donada una funció qualsevol, pots utilitzar CalcMe per trobar el seu polinomi de Taylor del grau que vulguis centrat en un punt donat. Per fer-ho, pots utilitzar la fórmula o la comanda taylor.

Donada la funció g left parenthesis x right parenthesis equals ln left parenthesis 2 minus x squared right parenthesis, per començar vols calcular el polinomi de Taylor de grau 2 centrat a x equals 1. Pots utilitzar la fórmula i CalcMe trobarà els coeficients directament.

DEMO INTERACTIVA

Donada la funció g left parenthesis x right parenthesis equals ln left parenthesis 2 minus x squared right parenthesis, ara vols calcular el polinomi de Taylor de grau 7 centrat al mateix punt. Atès que la fórmula és molt llarga, pots optar per utilitzar la comanda taylor inidicant la funció, la variable, el punt i el grau.

DEMO INTERACTIVA

Un cop vistes les dues aproximacions, pots plantejar-te representar-les gràficament per tal de veure quina relació mantenen amb la funció inicial.

DEMO INTERACTIVA

Fixat que com més elevat és el grau del polinomi de Taylor, més gran és l'interval on aproxima la funció d'una manera adequada. En aquest exemple, la funció blava aproxima adequadament al polinomi a l'interval left parenthesis 0.8 comma 1.2 right parenthesis mentres que la vermella l'aproxima a l'interval left parenthesis 0.6 comma 1.4 right parenthesis.

Com ja has vist anteriorment, donat un conjunt de funcions, pots utilitzar la calculadora per trobar l'àrea de la regió que delimiten. El procés habitual és utilitzar la regla de Barrow, és a dir, trobar una primitiva de la funció en qüestió i evaluar-la als extrems d'integració.

A vegades, quan aquests límits d'integració s'apropen a un nombre no real específic (plus infinity i negative infinity), parlem d'una integral impròpia i hem de calcular el límit d'una integral definida.

En primer lloc, donada la corba y equals left parenthesis square root of 5 minus square root of x right parenthesis squared, per trobar l'àrea de la regió en qüestió en tindràs prou amb calcular el punt de tall i la integral entre 0 i el punt de la nostra funció.

DEMO INTERACTIVA

En segon lloc, donada la corba y equals fraction numerator x squared minus 1 over denominator x squared plus 1 end fraction, per trobar l'àrea de la regió en qüestió hauràs de calcular la integral amb extrems d'integració menys i més infinit de l'assímptota horitzontal menys la funció. Atès que els límits d'integració s'apropen a un nombre no real específic (plus infinity i negative infinity), parlem d'una integral impròpia.

DEMO INTERACTIVA

Per últim, pots calcular l'àrea de la regió acotada compresa entre les dues corbes anteriors.

DEMO INTERACTIVA

Per últim, CalcMe també et permet resoldre EDOs amb o sense condicions inicials utilitzant la comanda resol. A l'hora d'escriure l'equació, has de pensar en introduir la funció en qüestió mitjançant la icona present a la secció Càlcul del Menú. D'altra manera, CalcMe no entendrà que li parles d'una equació diferencial.

Així doncs, un cop donades les condicions inicials, CalcMe retorna l'equació d'una variable que satisfà l'EDO i les condicions inicials en qüestió.

DEMO INTERACTIVA