Instruccions d'anàlisi matemàtica Nota: Pots trobar unes quantes demos interactives en aquesta pàgina. Si cliques sobre el requadre que conté els paràmetres de CalcMe, t'apareixerà en pantalla una finestra de CalcMe amb totes les operacions que hi pots veure. Prova-ho, canvia els paràmetres o les opcions, no trencaràs res! Repàs instruccions bàsiques Donada la funció , et plantegen un exercici per trobar un seguit de propietats que et permetran representar-la gràficament a ma. Acadèmicament, et servirà per repassar algunes comandes bàsiques relacionades amb el món de l'anàlisi. Per resoldre la primera qüestió, has d'utilitzar la comanda domini i calcular els límits a partir de la icona present en la secció Càlcul del Menú lateral. Fixa't com coincideixen els punts que es troben fora del domini de la funció amb les arrels del denominador. DEMO INTERACTIVA La segona qüestió és més senzilla de resoldre amb les eines vistes a la pregunta anterior. El fet que aquest límit sigui igual a 0 ens garanteix que la recta és asímptota obliqua de la funció inicial. DEMO INTERACTIVA Per resoldre la tercera pregunta, simplement has de derivar la funció inicial utilitzant l'apòstrof. Si ho prefereixes, també la pots trobar utilitzant l'acció present a la barra superior o la comanda derivada. Observa que si vols calcular a mà aquestes derivades hauràs d'utilitzar la regla de derivació d'un quocient. DEMO INTERACTIVA Pots resoldre les equacions plantejades igualant l'expressió a 0 o utilitzant la comanda resol indistintament. Posar noms a les solucions et permet guardar-les en memòria i utilitzar-les en càlculs posteriors fent servir més decimals dels que CalcMe mostra a la pantalla. DEMO INTERACTIVA La cinquena pregunta es resol avaluant en els punts crítics trobats anteriorment la segona derivada de la funció. Si aquesta és positiva en el punt, es tractarà d'un mínim relatiu. Per contra, si és negativa, es tractarà d'un màxim relatiu. Per altra banda, si vols trobar els intervals de creixement i decreixement, hauràs de veure quan la funció derivada és negativa (funció decreixent) i quan és positiva (funció creixent). Aquests intervals queden delimitats pels extrems relatius i punts fora del domini. DEMO INTERACTIVA Pel que fa als punts d'inflexió, només has de comprovar que el punt que anul·lava la segona derivada no anul·li també la tercera, com és el cas. Per tant, serà un punt d'inflexió. DEMO INTERACTIVA Per últim, et falta representar la funció i les seves asímptotes. DEMO INTERACTIVA Repàs integrals Donat un conjunt de funcions, pots utilitzar CalcMe per trobar l'àrea de la regió compresa entre elles i dibuixar-la. Per fer-ho, necessitaràs trobar els extrems d'integració i comprovar quina funció és més gran en l'interval en qüestió. Donades les funcions i , vols trobar l'àrea de la regió compresa entre elles des de l'origen fins al primer punt en què es tallen amb abscissa positiva. En buscar-ne els punts de tall, pots comprovar que el primer és , per tant hauràs de calcular la integral entre 0 i de la funció que vagi per sobre () menys la que vagi per sota (). DEMO INTERACTIVA Donades aquest cop les funcions i , vols trobar l'àrea de la regió compresa entre l'eix OY () i ambdues funcions. Com abans, has de buscar la seva intersecció i calcular la integral entre 0 i dit punt. En aquesta ocasió, va per sobre i , per sota. DEMO INTERACTIVA A l'hora de representar aquestes regions, tens dues opcions. En cas que la regió que vols pintar estigui encapsulada entre dues funcions, simplement has d'utilitzar la comanda regió i indicar les funcions i l'interval que vols que representi. DEMO INTERACTIVA Per altra banda, si la regió a representar no està pròpiament entre dues funcions, pots intersecar directament les inequacions necessàries i dibuixar-ho utilitzant l'acció. DEMO INTERACTIVA Optimització Donada una funció qualsevol, amb una gran varietat de propòsits, et pot interessar trobar-ne el màxim i el mínim en un interval donat. Amb CalcMe pots trobar-los fàcilment, simplement has d'avaluar la funció en els seus punts crítics i en els extrems de l'interval de possibles valors. Donat el model d'índex de preus d'aliments , vols trobar el moment dels sis primers anys en què el menjar ha estat més barat i en què ha estat més car. En buscar-ne la derivada i igualar-la a zero, veuràs que hi ha punts fora del nostre interval que no hauràs de tenir en compte. Per tant, només queda avaluar la funció als punts en qüestió i veure quan és més gran i quan és més petita. DEMO INTERACTIVA Repetint el mateix exercici però en els dotze primer anys, has d'afegir a la llista de candidats a òptim. D'aquesta manera, pots observar com el mínim s'assoleix més tard que en el primer cas. DEMO INTERACTIVA Taylor Donada una funció qualsevol, pots utilitzar CalcMe per trobar el seu polinomi de Taylor del grau que vulguis centrat en un punt donat. Per fer-ho, pots utilitzar la fórmula o la comanda taylor. Donada la funció , per començar vols calcular el polinomi de Taylor de grau centrat a . Pots utilitzar la fórmula i CalcMe trobarà els coeficients directament. DEMO INTERACTIVA Donada la funció , ara vols calcular el polinomi de Taylor de grau centrat al mateix punt. Atès que la fórmula és molt llarga, pots optar per utilitzar la comanda taylor indicant la funció, la variable, el punt i el grau. DEMO INTERACTIVA Un cop vistes les dues aproximacions, pots plantejar-te representar-les gràficament per tal de veure quina relació mantenen amb la funció inicial. DEMO INTERACTIVA Fixat que com més elevat és el grau del polinomi de Taylor, més gran és l'interval on aproxima la funció d'una manera adequada. En aquest exemple, la funció blava aproxima adequadament al polinomi a l'interval mentres que la vermella l'aproxima a l'interval . Integració impròpia Com ja has vist anteriorment, donat un conjunt de funcions, pots utilitzar la calculadora per trobar l'àrea de la regió que delimiten. El procés habitual és utilitzar la regla de Barrow, és a dir, trobar una primitiva de la funció en qüestió i avaluar-la als extrems d'integració. A vegades, quan aquests límits d'integració s'apropen a un nombre no real específic ( i ), parlem d'una integral impròpia i hem de calcular el límit d'una integral definida. En primer lloc, donada la corba , per trobar l'àrea de la regió en qüestió en tindràs prou amb calcular el punt de tall i la integral entre 0 i tal punt. DEMO INTERACTIVA En segon lloc, donada la corba , per trobar l'àrea de la regió en qüestió hauràs de calcular la integral amb extrems d'integració menys i més infinit de l'asímptota horitzontal menys la funció. Atès que els límits d'integració s'apropen a un nombre no real específic ( i ), parlem d'una integral impròpia. DEMO INTERACTIVA Per últim, pots calcular l'àrea de la regió acotada compresa entre les dues corbes anteriors. DEMO INTERACTIVA Transformada de Laplace Per últim, CalcMe també et permet resoldre EDOs amb o sense condicions inicials utilitzant la comanda resol. A l'hora d'escriure l'equació, has de pensar a introduir la funció en qüestió mitjançant la icona present a la secció Càlcul del Menú. D'altra manera, CalcMe no entendrà que li parles d'una equació diferencial. Així doncs, un cop donades les condicions inicials, CalcMe retorna l'equació d'una variable que satisfà l'EDO i les condicions inicials en qüestió. DEMO INTERACTIVA Taula de continguts Repàs instruccions bàsiques Repàs integrals Optimització Taylor Integració impròpia Transformada de Laplace